递归算法学习系列之八皇后问题

1.问题描述

 

   在8*8国际象棋棋盘上，要求在每一行放置一个皇后，且能做到在竖方向，斜方向都没有冲突。国际象棋的棋盘如下图所示：

 

2.分析

  采用逐步试探的方式，先从一个方向往前走，能进则进，不能进则退，尝试另外的路径。首先我们来分析一下国际象棋的规则，这些规则能够限制我们的前进，也就是我们前进途中的障碍物。一个皇后q(x,y)能被满足以下条件的皇后q(row,col)吃掉

1）x=row(在纵向不能有两个皇后)

2)  y=col（横向）

3）col + row = y+x;（斜向正方向）

4)  col - row = y-x;（斜向反方向）

遇到上述问题之一的时候，说明我们已经遇到了障碍，不能继续向前了。我们需要退回来，尝试其他路径。

我们将棋盘看作是一个8*8的数组，这样可以使用一种蛮干的思路去解决这个问题，这样我们就是在8*8=64个格子中取出8个的组合，C(64,80) = 4426165368,显然这个数非常大，在蛮干的基础上我们可以增加回溯，从第0列开始，我们逐列进行，从第0行到第7行找到一个不受任何已经现有皇后攻击的位置，而第五列，我们会发现找不到皇后的安全位置了，前面四列的摆放如下:

第五列的时候，摆放任何行都会上图所示已经存在的皇后的攻击，这时候我们认为我们撞了南墙了，是回头的时候了，我们后退一列，将原来摆放在第四列的皇后（3，4）拿走，从（3，4）这个位置开始，我们在第四列中寻找下一个安全位置为（7，4），再继续到第五列，发现第五列仍然没有安全位置，回溯到第四列，此时第四列也是一个死胡同了，我们再回溯到第三列，这样前进几步，回退一步，最终直到在第8列上找到一个安全位置（成功）或者第一列已经是死胡同，但是第8列仍然没有找到安全位置为止

总结一下，用回溯的方法解决8皇后问题的步骤为：

1）从第一列开始，为皇后找到安全位置，然后跳到下一列

2）如果在第n列出现死胡同，如果该列为第一列，棋局失败，否则后退到上一列，在进行回溯

3）如果在第8列上找到了安全位置，则棋局成功。

8个皇后都找到了安全位置代表棋局的成功，用一个长度为8的整数数组queenList代表成功摆放的8个皇后，数组索引代表棋盘的col向量，而数组的值为棋盘的row向

量，所以(row,col)的皇后可以表示为(queenList[col],col),如上图中的几个皇后可表示为：

queenList[0] = 0;  queenList[1] = 2;   queenList[2] = 4;  queenList[3] = 1;   queenList[4] = 3;

我们看一下如何设计程序:

首先判断(row,col)是否是安全位置的算法:

bool IsSafe(int col,int row,int[] queenList)
        {
            //只检查前面的列
            for (int tempCol = 0; tempCol < col; tempCol++)
            {
                int tempRow = queenList[tempCol];
                if (tempRow == row)
                {
                    //同一行
                    return false;
                }
                if (tempCol == col)
                {
                    //同一列
                    return false;
                }
                if (tempRow - tempCol == row - col || tempRow + tempCol == row + col)
                {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        }

 

设定一个函数，用于查找col列后的皇后摆放方法：

/// <summary>
        /// 在第col列寻找安全的row值
        /// </summary>
        /// <param name="queenList"></param>
        /// <param name="col"></param>
        /// <returns></returns>
        public bool PlaceQueue(int[] queenList, int col)
        {
            int row = 0;
            bool foundSafePos = false;
            if (col == 8) //结束标志
            {
                //当处理完第8列的完成
                foundSafePos = true;
            }
            else
            {
                while (row < 8 && !foundSafePos)
                {
                    if (IsSafe(col, row, queenList))
                    {
                        //找到安全位置
                        queenList[col] = row;
                        //找下一列的安全位置
                        foundSafePos = PlaceQueue(queenList, col + 1);
                        if (!foundSafePos)
                        {
                            row++;
                        }
                    }
                    else
                    {
                        row++;
                    }
                }
            }
            return foundSafePos;
        }

  

调用方法：

 static void Main(string[] args)
        {
            EightQueen eq = new EightQueen();
            int[] queenList = new int[8];
            for (int j = 0; j < 8; j++)
            {
                Console.WriteLine("-----------------"+j+"---------------------");
                queenList[0] = j;
                bool res = eq.PlaceQueue(queenList, 1);

                if (res)
                {
                    Console.Write("   ");       
                    for (int i = 0; i < 8; i++)
                    {
                        Console.Write(" " + i.ToString() + " ");       
                    }
                    Console.WriteLine("");
                    for (int i = 0; i < 8; i++)
                    {
                        Console.Write(" "+i.ToString()+" ");                       
                        for (int a = 0; a < 8; a++)
                        {                           
                            if (i == queenList[a])
                            {
                                Console.Write(" q ");
                            }
                            else
                            {
                                Console.Write(" * ");
                            }
                        }
                        Console.WriteLine("");
                                
                    }
                  
                    Console.WriteLine("---------------------------------------");
                }
                else
                {
                    Console.WriteLine("不能完成棋局，棋局失败！");
                }
            }
            Console.Read();
        }

 

递归算法PlaceQueue,完成这样的功能：它寻找第col列后的皇后的安全摆放位置，如果该函数返回了false,表示当前进入了死胡同，需要进行回溯，直到为0-7列都找

到了安全位置或者找遍这些列都找不到安全位置的时候终止.